1以上の自然数nをs以上してそれの逆数をとって、それを無限に足し算する関数。sの関数でリーマンゼータ関数っていうんだっけ。ζ(s)と書く。
sが1以下のとき発散して1より大きいとき収束するんですよ。それを証明しましょうって話ですね。
s=1のとき、簡単ですね。発散します。xの-1乗の関数を考えましょう。それの面積を考えます。積分範囲を1から∞ってことで。そうすっと、その面積はζ(1)より小さい。積分すれば発散するんでζ(1)も発散する。正であることは明らかなので発散確定。
sが1未満のとき？そりゃー簡単ですよね。指数関数は単調増加なので、全部発散することがすぐにわかります。
問題はsが1よりでけえときなんですよ。2以上のときは収束するのはバーゼル問題からすぐわかりますがね。うーんこれはどうしたらええんやろなあ。せや！xの-s乗の積分を考えたろ！
(s=1のときと同じですねやってることは)
えーっと、1/n^sの総和より大きいのは、0から∞までの総和だね。
なぜなら0から1までの間にn=1のやつを考えて、1から2の間にn=2を当てはめて、それを繰り返せばζ(s)よりも0から∞までのx^(-s)の積分のほうがでけえ。
そんじゃ、積分しやーすwww
積分すると1/(1-s)のx^(1-s)に0と∞を代入して、∞に発散......
別の方法を試すか。
失敗したということは、不等式評価が雑だったわけだ。
えーっと、0から積分するのがあかんかったから、1からの積分に切り替えるか。
けどそうなると何がまずい？それは1/n^sのn=1の部分が抜けてしまうではないか。おいおいおいおいおいおいおい待て待て待て待て。
だがその場合どうする？あとで足しとけばおっけー。つーわけで
s>1のとき
ζ(s) < 1+∫[1→∞] x^(-s) dx = 1 + 1/(1-s) [ x^(1-s) ] (∞,1)
1-s = -(s-1)でs-1>0よりζ(s) < 1-1/(s-1)=(s-2)/(s-1)
わお。
これで証明できました。ζ(s)はs>1で収束。
追記：最後計算ミスしてる。ζ(s)<1+1/(s-1)=s/(s-1)だわ。
